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2016-08-28 00:27:47 조회수 : 1,817 
유체의 운동에 대한 분석
  백도원 | 충남과학고등학교 2학년
우리가 평소에 사용하는 연필, 책 등 대부분의 물체는 강체이다. 강체는 질량 분포가 항상 일정한 물체이다. 하지만, 물, 공기 등의 경우 질량 분포가 일정하지 않으며, 이런 물질들을 ‘유체’라고 한다. 강체의 운동을 기술하는 방법으로는 뉴턴의 운동 법칙, 라그랑주 방정식 등 다양한 방법들이 알려져 있다. 유체의 운동도 수학적으로 기술할 수 있는 방법들이 알려져 있으나, 유체의 출렁임 등 복잡한 운동이 일어나게 되면, 이를 수학적으로 기술하는 것이 쉽지 않다. 유체의 운동을 기술할 수 있는 간단한 방법들에 대해 논의해 보겠다.

먼저, 연속 방정식이 있다. 연속 방정식은 이상 유체가 흐르고 있을 때, 임의의 지점에서 유체의 단면적과 속도를 곱한 값은 일정하다는 법칙이다. 연속 방정식은 고전역학에서 질량 보존의 법칙에 해당되는 법칙으로, 만약 유체의 밀도가 위치에 따라 변한다면, ‘유체의 밀도, 단면적과 속도를 곱한 값이 일정하다’라는 법칙으로 일반화할 수 있다.

둘쨰, 파스칼의 원리가 있다. 파스칼의 원리는, 양쪽 끝이 피스톤으로 막혀 있는 밀폐된 용기의 한 쪽 끝에 힘을 가했을 때, 압력이 동일하도록 힘이 전달된다는 법칙이다. 즉, 용기의 양쪽 끝부분의 단면적을 각각 A1, A2, 용기의 양쪽 끝부분에 작용하는 힘을 각각 F1, F2라 하면, 식 F1/A1 = F2/A2 가 성립한다는 것이다. 두 개의 피스톤이 이동한 거리를 각각 d1, d2라 할 때, 질량 보존 법칙으로부터 A1*d1=A2*d2가 성립하므로, 식 F1*d1=F2*d2가 성립함이 확인된다. 즉, 이 경우에도 일의 원리가 성립한다는 것이 확인되었다.

마지막으로, 베르누이 정리가 있다. 베르누이 정리는 유체에 대한 에너지 보존 법칙을 의미하며, P+rho*g*h+0.5*rho*v*v 의 값이 일정하다는 정리이다. 이 때, P는 유체의 압력, rho는 유체의 밀도, h는 유체의 높이, v는 유체의 속력이다.

지금까지 언급한 방법들을 이용해 우리는 간단한 유체의 운동을 기술할 수 있다. 한 예로, 원통형 용기에 높이 h만큼 유체가 채워져 있고, 용기의 바닥에 면적이 매우 작은 구멍이 있다고 하자. 구멍을 통해 빠져나오는 유체의 속력은 얼마일까? 구멍의 면적이 매우 작은 경우, 베르누이 정리로부터 sqrt(2*g*h)라는 답을 얻을 수 있다. 이는 중력이 작용하는 공간에서, 높이 h인 곳에서 자유낙하 운동시킨 물체가 지면에 도달했을 때의 속력과 같다. 왜 자유낙하 운동의 경우와 같은 값이 도출되었을까? 이는 베르누이 정리가 유체에 대한 에너지 보존 법칙에 해당되기 때문이다. 자유낙하 운동하는 물체가 지면에 도달할 때의 속력을 도출할 때, 뉴턴 운동 법칙 F=ma로부터 등가속도 운동 공식을 유도하는 방법도 있지만, 에너지 보존 법칙을 이용하면 0.5*m*v*v=m*g*h로부터 답을 쉽게 얻을 수 있다. 앞에서 언급한 문제 상황에서, 유체에 대해 베르누이 정리를 적용하면, 중력장에서의 에너지 보존 법칙 식에서 질량이 밀도로 대체되었을 뿐, 이외의 변수들은 모두 동일함을 확인할 수 있다.

다른 예로, 등가속도 운동하는 버스에 물이 채워진 용기가 있는 상황을 생각해 보자. 이 때, 버스의 가속도 방향에 따라 물 표면의 상태가 결정될 것이다. 물 표면의 상태는 유효 중력에 수직이 되도록 결정되는데, 이는 등가속도 운동하는 버스에 단진자가 있을 때, 물체가 묶여 있는 실이 유효 중력 방향과 나란하게 배열되는 것과 유사하다.

정리하면, 유체의 운동은 출렁임 등으로 복잡한 경우도 있지만, 간단한 경우는 연속 방정식, 파스칼의 원리, 베르누이 정리 등으로 기술할 수 있다. 또한, 간단한 유체의 운동의 경우 강체의 운동과 유사한 점들을 확인할 수 있다. 더 나아가, 평소 학습을 할 때, 각 단원을 독립적으로 학습하지 않고, 다양한 단원들을 연계하여 학습한다면, 학습 내용에 대한 이해도를 더욱 높일 수 있을 것이다.

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