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2016-04-30 12:50:49 조회수 : 1,609 
행렬을 활용한 문제 해결
  백도원 | 충남과학고등학교 2학년
행렬은 여러 개의 숫자들을 직사각형 모양으로 배열한 것을 의미한다. 우리는 보통 행렬에 대해 학습할 때, 행렬의 합, 차, 곱 등 기본 연산 규칙, 역행렬을 활용한 연립일차방정식의 풀이, 행렬을 이용해 회전변환, 대칭변환 등을 표시하는 방법 등 다양한 내용들을 학습한다. 그런데, 많은 학생들은 이런 내용들을 학습하며, ‘행렬을 과학적 문제 해결에 활용하는 것이 큰 도움이 될까?’ 하는 의문을 가진다. 물론, 행렬은 과학적 문제 해결에 많은 도움이 된다. 행렬을 과학적 문제 해결에 활용할 수 있는 여러 가지 예들을 논의해 보자.


우선, 행렬은 연립일차방정식의 해를 구할 때 활용할 수 있다. 연립일차방정식의 풀이는 과학 문제 해결에 자주 등장한다. 대표적인 예로 물체의 운동 분석이 있다. 우리는 물체의 운동을 분석할 때, 여러 개의 운동 방정식들을 쓴 후, 방정식들을 연립하여 미지수의 값을 계산해야 한다. 이 때, 방정식들을 행렬의 곱으로 쓴 후, 역행렬을 이용하면 미지수의 값들을 쉽게 계산할 수 있다. 미지수가 많은 경우에는 역행렬을 구하지 않고, 크래머의 공식을 이용해서도 미지수의 값을 계산할 수 있다.


다음으로, 행렬은 일차변환을 기술하기에 매우 편리하다. 기본적으로 행렬을 이용하면 대칭변환, 회전변환 등을 기술할 수 있으며, 행렬의 곱이 일차변환의 합성에, 역행렬이 일차변환의 역변환에 대응하므로 행렬은 일차변환을 기술하기에 매우 편리하다. 그리고, 일차변환은 다양한 문제 해결에 활용된다. 대표적으로 회전 운동을 기술하기 위해 좌표계를 설정하고 각각의 측정값들을 기술할 때, 회전변환을 행렬로 나타낼 수 있기 때문에 회전 운동을 기술하는 것이 매우 편리해진다. 회전변환을 행렬로 표시할 수 없다면, 계산이 매우 복잡해질 것이다.


또한, 행렬은 벡터의 외적을 기술하기에 매우 편리하다. 우선 직교 좌표계에서 두 벡터의 외적을 계산할 때에는, 3*3 행렬의 행렬식을 이용하면 되는데, 첫 번째 행에는 3개의 단위벡터(x, y, z)를 순서대로 쓰고, 두 번째 행과 세 번째 행에는 각 벡터의 성분을 x, y, z 순서대로 쓴 후 이 행렬의 행렬식을 계산하면, 이 벡터가 외적의 결과가 된다. 이 때, 벡터의 외적은 평행사변형의 넓이를 계산하거나, 변위 벡터와 힘 벡터의 벡터곱으로 주어지는 토크, 변위 벡터와 운동량 벡터의 벡터곱으로 주어지는 각운동량을 계산하는 상황 등 다양한 상황에서 활용된다. 더 나아가, 어떤 벡터의 회전을 계산할 때에도 편리하다. 이 계산도 벡터의 외적과 유사한데, 벡터의 회전도 앙페르 법칙의 미분형 표현 등 다양한 문제 해결에 활용된다.


마지막으로, 행렬을 이용해 어떤 그래프 상에서 몇 번의 이동을 통해 한 점에서 다른 점으로 이동 가능한 경우의 수가 얼마나 되는지 계산할 수 있다. 이를 위해서는, 1번의 이동으로 한 점에서 다른 점으로 이동 가능한 경우의 수들을 나열한 행렬을 만든 후, 행렬을 거듭제곱하여 얻어진 행렬에서 원하는 값을 읽으면 된다. 그런데, 이런 연산이 가능한 이유는 행렬의 곱의 정의 때문이다. 즉, 행렬의 곱이 단순히 같은 위치에 있는 성분들의 곱으로 정의되는 것이 아니라, 한 행과 한 열을 정하여 순서대로 값들을 곱한 후 그 값들을 더한 값으로 각 성분들이 결정되기 때문이다. 이와 유사한 연산 규칙이 적용되는 상황에서는 행렬이 문제 해결에 매우 유용하게 활용된다.


지금까지 행렬을 과학적 문제 해결에 활용할 수 있는 여러 가지 예들을 논의해 보았다. 이처럼 어떤 수학적 개념을 학습할 때, 그 개념이 문제 해결에 어떻게 활용될 수 있을지 생각하며 해당 개념을 학습한다면, 수학적 개념에 대한 이해도를 더 높일 수 있을 것이다.

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