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2016-03-27 15:37:28 조회수 : 1,337 
문제 해결에 큰 도움을 주는 '귀납적 사고'
백도원 | 충남과학고등학교 2학년
‘귀납적 사고’는 무엇일까? 예를 들어 설명하면 다음과 같다. 어떤 수열 {a_n}의 점화식이 a_(n+1) = a_(n)+1, a_1=1로 주어졌다고 하자. a_1=1이므로 a_2 = a_1+1=2, a_3 = a_2+1=3이며, 같은 방법으로 임의의 자연수 n에 대해 a_n의 값을 계산할 수 있다. 즉, n의 값에 작은 수부터 차례로 대입해보면서, a_n에 대한 규칙성을 찾는 과정이 ‘귀납적 사고’를 통해 문제를 해결하는 과정의 예이다. 이 과정을 통해, a_n=n임을 추론할 수 있고, 이를 수학적으로 증명하기 위해 다른 방법을 찾아보면 되는 것이다. 이러한 ‘귀납적 사고’는 다양한 문제를 해결하는데 큰 도움을 준다. ‘귀납적 사고’가 문제 해결에 도움이 되는 여러 가지 예들을 논의해 보자.


먼저, 점화식과 관련된 다양한 문제들은 ‘귀납적 사고’를 통해 해결할 수 있다. 기본적으로, 점화식을 직접 제시해 주고, 일반항을 구하도록 하는 문제가 있다. 일반적인 형태의 점화식은, 점화식을 푸는 해법이 알려져 있으나, ‘귀납적 사고’를 통해, 각 항들의 값을 계산해 보며 규칙을 찾고 이를 일반화함으로써 일반항을 찾을 수도 있다. 하지만, 문제에서 어떤 상황을 제시해 주고, 답을 구하도록 하는 문제도 있다. 예를 들어, ‘2개 이상의 연속한 자연수의 합으로 나타낼 수 없는 수들을 모두 구하시오.’와 같은 문제가 있다. 이 문제를 어떻게 해결해야 할까? 문제 해결 방법을 찾는 것이 쉽지 않을 것이다. 이런 경우, ‘귀납적 사고’가 문제 해결에 큰 도움이 된다. 1부터 시작하여 몇 개의 자연수들에 대해 2개 이상의 연속한 자연수의 합으로 나타낼 수 있는지 여부를 확인해 보면, 2개 이상의 연속한 자연수의 합으로 나타낼 수 없는 수들은 1,2,4,8 등의 수임을 알 수 있고, 이 수들은 모두 2의 거듭제곱 꼴로 표현할 수 있다는 것을 알 수 있다. 이제 2의 거듭제곱꼴의 수들만 2개 이상의 연속한 자연수의 합으로 나타낼 수 없다는 것을 증명하면 되는 것이다. 점화식과 관련된 문제가 아니더라도, 2000 이상의 매우 큰 수가 주어지는 문제들이 있다. 이런 문제들의 경우, 2000 이상의 매우 큰 수를 n으로 일반화하고, n=1일 때부터 문제를 풀어본 후, 이를 일반화시킨다면 문제를 더 쉽게 해결할 수 있을 것이다.


또한, 물리학과 관련된 문제에서도 ‘귀납적 사고’가 큰 도움이 된다. 예를 들어 도르래를 이용해 무게 W인 물체를 들어 올리는 상황을 생각해 보자. 특히, 고정 도르래 n개와 움직 도르래 n개가 연결되어 있고, 움직 도르래 n개에 무게 W인 물체가 매달려 있는 상황을 생각하자. 이 때, 무게 W인 물체를 들어올리기 위해 도르래에 연결되어 있는 실의 한 쪽 끝에 가해야 하는 힘의 크기의 최소값은 얼마일까? 이 문제를 해결할 때에도, ‘귀납적 사고’가 큰 도움이 된다. n=1인 경우 문제의 답은 W/2임을 잘 알고 있다. n=2인 경우 문제의 답은 무엇일까? 줄에 걸리는 장력은 줄의 어느 지점에서든지 동일하며, 4개의 줄이 무게 W인 물체를 들어올리는 상황이므로, 답은 W/4가 될 것이다. 이를 일반화시키면, 주어진 문제 상황은 (2*n)개의 줄이 무게 W인 물체를 들어올리는 상황이므로, 답은 W/(2*n)이 될 것이다.


마지막으로, 화학과 관련된 상황을 분석할 때에도 귀납적 사고가 많은 도움이 된다. 예를 들어, 증류를 통해 2종류의 순물질로 구성된 혼합물을 분리하는 상황을 생각하자. 1회의 증류를 통해서는 혼합물이 순도 100%의 순물질로 분리되지는 않는다. 이 때, 원하는 순도의 물질을 얻기 위해 몇 번의 증류가 필요한지 계산할 때 ‘귀납적 사고’를 활용할 수 있다.


지금까지 ‘귀납적 사고’가 도움이 되는 다양한 상황들에 대해 논의해 보았다. ‘귀납적 사고’를 통해 상황을 이해하고, 답을 추론해 보는 연습을 한다면, 이는 정확한 문제 해결에 큰 도움이 될 것이다.

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